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Mes: agosto 2019

La «serie Asimov» para hallar el inverso de e

Leyendo el libro «De los números y su historia» de Isaac Asimov me he tropezado con la «serie Asimov», un serie que Asimov descubrió por sí mismo y que dice no conocer a nadie más que la haya propuesto con antelación, aunque, según él mismo dice, seguramente alguien lo habrá hecho en algún momento de la historia.

He buscado esta serie por Internet y no parece haber rastro de ella en ninguna parte de forma que haré aquí una mención para su conocimiento.

Una expresión general para \(e^x\)

Asimov parte de la conocida expresión general para encontrar \(e^x\):

\[e^x = \frac {x^0}{0!} + \frac{x^1} {1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Que puede escribirse como:

\[e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Asimov llega a la expresión de su propia serie tras diversas manipulaciones de la fórmula anterior aplicada a \(x=-1\), es decir:

\[e^{-1} = 1 + (-1) + \frac {(-1)^2}{2!} + \frac {(-1)^3}{3!} + \frac {(-1)^4}{4!} + \frac {(-1)^5}{5!}…\]

Fácilmente se ve que los términos con exponentes pares quedarán positivos y los impares negativos, además, los dos primeros términos se anulan:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \frac 1{3!} + \frac 1{4!} – \frac 1{5!} + \frac 1{6!}-\frac 1{7!} + \frac 1{8!}…\]

A continuación transforma los signos positivos en negativos agrupando términos:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \left ( \frac 1{3!} – \frac 1{4!} \right ) – \left ( \frac 1{5!} – \frac 1{6!} \right ) – \left (\frac 1{7!} – \frac 1{8!}\right )…\]

Si nos fijamos en uno de los paréntesis y utilizamos letras en lugar de números, vemos que:

\[\frac 1 {(n-1)!} – \frac 1 {n!} = \frac 1 {(n-1)(n-2)…1} – \frac 1 {n(n-1)(n-2)…1}\]

y de aquí:

\[\frac {n-1} {n(n-1)(n-2)…1}\]

es decir:

\[\frac {n-1} {n!}\]

De forma que podemos substituir los paréntesis por:

\[ e^{-1}=\frac {1}{2!} – \frac 3 {4!} – \frac 5 {6!} – \frac 7 {8!}… \]

Que es la SERIE ASIMOV, llamada así por el propio Asimov, una serie bella por su simplicidad.

El juego «Quién es quién» y los logaritmos

El juego de quién es quién consiste en responder a una serie de preguntas de tipo Sí/No para descubrir quién es el personaje que tiene nuestro oponente. Las características que podemos mirar son:

  • Color del pelo
  • Sexo
  • Presencia de bigote
  • Presencia de barba
  • Pendientes
  • Color de la piel
  • Gorra en la cabeza
  • Adornos en el pelo
  • etc.

Aunque algunas preguntas automáticamente descartan otras, supondremos que las preguntas son independientes entre ellas.

Con una pregunta podríamos diferenciar entre dos personas. Por ejemplo, si una tiene el pelo rubio y la otra negro, la pregunta ¿Tiene el pelo rubio? ya nos lleva a la solución. Es decir \(2^1=2\).

Con dos preguntas podríamos diferenciar un máximo de 4 personajes. Por ejemplo, con el color del pelo y el color de la piel. Las posibilidades son:

  1. Pelo rubio y piel clara
  2. Pelo rubio y piel oscura
  3. Pelo negro y piel clara
  4. Pelo negro y piel oscura.

Es decir \(2^2=4\). En general el número de personajes, \(P\), que podremos diferenciar con \(x\) preguntas son: \( P(x)=2^x \).

En el listado que encabeza este artículo había 8 características corporales, por lo tanto podríamos diferenciar \(P(8)=2^8=256\) personajes. Lo cual es muy superior al número que suele ser de 24. Lo que se consigue con un número de preguntas muy superior al necesario es que las respuestas sean redundantes y aumente la dificultad en la averiguación. Por ejemplo, en un caso extremo (irreal pero que ayuda a entender lo que se quiere decir) en el que todas las mujeres llevasen gorra, al hacer la primera pregunta descartamos aproximadamente la mitad de los personajes (suponiendo que el número de hombres y mujeres sea el mismo) pero al hacer la segunda pregunta no ganamos ninguna información útil por lo que harán falta más preguntas que nos ayuden a discriminar el personaje que buscamos.

¿Cuántas preguntas no redundantes necesitamos para discriminar un número de personajes determinado? Si llamamos P a este número, entonces \(P=2^x\). Como que nos interesa hallar \(x\) podemos usar logaritmos para despejarla. Utilizaremos logaritmos naturales (o neperianos) ya que son los de uso más común.

\( \ln P = \ln 2^x \)
\( \ln P = x \cdot \ln 2 \)

y despejando \(x\):

\( x = \displaystyle \frac {\ln P}{\ln 2} \)

Entonces, ¿cuántas peguntas necesitamos con 24 personajes? La respuesta será:

\( x = \displaystyle \frac {\ln 24}{\ln 2} \approx 4.6 \)

Con 4 preguntas no llegaríamos para diferenciarlos a todos pero con 5 sí.

Por lo tanto harían falta 5 preguntas no redundantes como máximo. Sin lugar a dudas el juego acabaría demasiado pronto con sólo estas preguntas y es bueno que tenga más, pero esto nos lleva a otra reflexión y es que el exceso de información puede ser redundante y, por tanto, inútil.

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