Leyendo el libro «De los números y su historia» de Isaac Asimov me he tropezado con la «serie Asimov», un serie que Asimov descubrió por sí mismo y que dice no conocer a nadie más que la haya propuesto con antelación, aunque, según él mismo dice, seguramente alguien lo habrá hecho en algún momento de la historia.
He buscado esta serie por Internet y no parece haber rastro de ella en ninguna parte de forma que haré aquí una mención para su conocimiento.
Una expresión general para \(e^x\)
Asimov parte de la conocida expresión general para encontrar \(e^x\):
\[e^x = \frac {x^0}{0!} + \frac{x^1} {1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]
Que puede escribirse como:
\[e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]
Asimov llega a la expresión de su propia serie tras diversas manipulaciones de la fórmula anterior aplicada a \(x=-1\), es decir:
\[e^{-1} = 1 + (-1) + \frac {(-1)^2}{2!} + \frac {(-1)^3}{3!} + \frac {(-1)^4}{4!} + \frac {(-1)^5}{5!}…\]
Fácilmente se ve que los términos con exponentes pares quedarán positivos y los impares negativos, además, los dos primeros términos se anulan:
\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \frac 1{3!} + \frac 1{4!} – \frac 1{5!} + \frac 1{6!}-\frac 1{7!} + \frac 1{8!}…\]
A continuación transforma los signos positivos en negativos agrupando términos:
\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \left ( \frac 1{3!} – \frac 1{4!} \right ) – \left ( \frac 1{5!} – \frac 1{6!} \right ) – \left (\frac 1{7!} – \frac 1{8!}\right )…\]
Si nos fijamos en uno de los paréntesis y utilizamos letras en lugar de números, vemos que:
\[\frac 1 {(n-1)!} – \frac 1 {n!} = \frac 1 {(n-1)(n-2)…1} – \frac 1 {n(n-1)(n-2)…1}\]
y de aquí:
\[\frac {n-1} {n(n-1)(n-2)…1}\]
es decir:
\[\frac {n-1} {n!}\]
De forma que podemos substituir los paréntesis por:
\[ e^{-1}=\frac {1}{2!} – \frac 3 {4!} – \frac 5 {6!} – \frac 7 {8!}… \]
Que es la SERIE ASIMOV, llamada así por el propio Asimov, una serie bella por su simplicidad.
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