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Categoría: Matemáticas

La «serie Asimov» para hallar el inverso de e

Leyendo el libro «De los números y su historia» de Isaac Asimov me he tropezado con la «serie Asimov», un serie que Asimov descubrió por sí mismo y que dice no conocer a nadie más que la haya propuesto con antelación, aunque, según él mismo dice, seguramente alguien lo habrá hecho en algún momento de la historia.

He buscado esta serie por Internet y no parece haber rastro de ella en ninguna parte de forma que haré aquí una mención para su conocimiento.

Una expresión general para \(e^x\)

Asimov parte de la conocida expresión general para encontrar \(e^x\):

\[e^x = \frac {x^0}{0!} + \frac{x^1} {1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Que puede escribirse como:

\[e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Asimov llega a la expresión de su propia serie tras diversas manipulaciones de la fórmula anterior aplicada a \(x=-1\), es decir:

\[e^{-1} = 1 + (-1) + \frac {(-1)^2}{2!} + \frac {(-1)^3}{3!} + \frac {(-1)^4}{4!} + \frac {(-1)^5}{5!}…\]

Fácilmente se ve que los términos con exponentes pares quedarán positivos y los impares negativos, además, los dos primeros términos se anulan:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \frac 1{3!} + \frac 1{4!} – \frac 1{5!} + \frac 1{6!}-\frac 1{7!} + \frac 1{8!}…\]

A continuación transforma los signos positivos en negativos agrupando términos:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \left ( \frac 1{3!} – \frac 1{4!} \right ) – \left ( \frac 1{5!} – \frac 1{6!} \right ) – \left (\frac 1{7!} – \frac 1{8!}\right )…\]

Si nos fijamos en uno de los paréntesis y utilizamos letras en lugar de números, vemos que:

\[\frac 1 {(n-1)!} – \frac 1 {n!} = \frac 1 {(n-1)(n-2)…1} – \frac 1 {n(n-1)(n-2)…1}\]

y de aquí:

\[\frac {n-1} {n(n-1)(n-2)…1}\]

es decir:

\[\frac {n-1} {n!}\]

De forma que podemos substituir los paréntesis por:

\[ e^{-1}=\frac {1}{2!} – \frac 3 {4!} – \frac 5 {6!} – \frac 7 {8!}… \]

Que es la SERIE ASIMOV, llamada así por el propio Asimov, una serie bella por su simplicidad.

El juego «Quién es quién» y los logaritmos

El juego de quién es quién consiste en responder a una serie de preguntas de tipo Sí/No para descubrir quién es el personaje que tiene nuestro oponente. Las características que podemos mirar son:

  • Color del pelo
  • Sexo
  • Presencia de bigote
  • Presencia de barba
  • Pendientes
  • Color de la piel
  • Gorra en la cabeza
  • Adornos en el pelo
  • etc.

Aunque algunas preguntas automáticamente descartan otras, supondremos que las preguntas son independientes entre ellas.

Con una pregunta podríamos diferenciar entre dos personas. Por ejemplo, si una tiene el pelo rubio y la otra negro, la pregunta ¿Tiene el pelo rubio? ya nos lleva a la solución. Es decir \(2^1=2\).

Con dos preguntas podríamos diferenciar un máximo de 4 personajes. Por ejemplo, con el color del pelo y el color de la piel. Las posibilidades son:

  1. Pelo rubio y piel clara
  2. Pelo rubio y piel oscura
  3. Pelo negro y piel clara
  4. Pelo negro y piel oscura.

Es decir \(2^2=4\). En general el número de personajes, \(P\), que podremos diferenciar con \(x\) preguntas son: \( P(x)=2^x \).

En el listado que encabeza este artículo había 8 características corporales, por lo tanto podríamos diferenciar \(P(8)=2^8=256\) personajes. Lo cual es muy superior al número que suele ser de 24. Lo que se consigue con un número de preguntas muy superior al necesario es que las respuestas sean redundantes y aumente la dificultad en la averiguación. Por ejemplo, en un caso extremo (irreal pero que ayuda a entender lo que se quiere decir) en el que todas las mujeres llevasen gorra, al hacer la primera pregunta descartamos aproximadamente la mitad de los personajes (suponiendo que el número de hombres y mujeres sea el mismo) pero al hacer la segunda pregunta no ganamos ninguna información útil por lo que harán falta más preguntas que nos ayuden a discriminar el personaje que buscamos.

¿Cuántas preguntas no redundantes necesitamos para discriminar un número de personajes determinado? Si llamamos P a este número, entonces \(P=2^x\). Como que nos interesa hallar \(x\) podemos usar logaritmos para despejarla. Utilizaremos logaritmos naturales (o neperianos) ya que son los de uso más común.

\( \ln P = \ln 2^x \)
\( \ln P = x \cdot \ln 2 \)

y despejando \(x\):

\( x = \displaystyle \frac {\ln P}{\ln 2} \)

Entonces, ¿cuántas peguntas necesitamos con 24 personajes? La respuesta será:

\( x = \displaystyle \frac {\ln 24}{\ln 2} \approx 4.6 \)

Con 4 preguntas no llegaríamos para diferenciarlos a todos pero con 5 sí.

Por lo tanto harían falta 5 preguntas no redundantes como máximo. Sin lugar a dudas el juego acabaría demasiado pronto con sólo estas preguntas y es bueno que tenga más, pero esto nos lleva a otra reflexión y es que el exceso de información puede ser redundante y, por tanto, inútil.

73, el número primo de Sheldon

En el capítulo 73 de la serie The Big Ban Theory uno de los protagonistas, Sheldon Cooper, dice que 73 es el mejor número. Lo justifica del siguiente modo:

El mejor número es el 73

El mejor número es el 73 (…) El 73 es el vigésimo primer número primo, leído al revés es el 37 que es el décimo segundo que al revés es el 21 que es el resultado de multiplicar, agarraos fuerte, 7 por 3.

Sheldon cooper

Un par de cuestiones previas

Si \(p_n\) es el enésimo número primo, entonces \(p_{21}=73\) ya que el 73 es el primo que hace el número 21.

Definimos \(rev(x)\) como el número cuya secuencia de dígitos es inversa a la de x. Por ejemplo \(rev(123)=321\), \( rev(1500)=15\).

Un par de propiedades

Decimos que un número primo \(p_n\) tiene la propiedad del producto si el producto de sus dígitos es \(n\). Cosa que cumple perfectamente el número 73 ya que \( 7 \times 3 = 21\).

Decimos que \(p_n\) satisface la propiedad de espejo si \(rev (p_n) = p_{rev (n)}\).

Es decir, que si nuestro primo ocupa la posición \(n\), cuando invertimos sus dígitos se obtiene otro número primo que ocupa la misma posición que ocupaba \(p\) pero con sus cifras invertidas.

Si esto lo aplicamos a nuestro número 73 vemos que \(p_{21}=73\) y que \(p_{12}=37\). O sea, que al invertir las cifras también se invierten las cifras del orden que ocupaba.

El número primo de Sheldon

Un número primo de Sheldon se define como el número primo que cumple la propiedad del producto y la del espejo.

Pero, ¿el 73 es el único número que cumple estas propiedades? Esto es lo que Carl Pomerance y Chris Spicer han llamado la conjetura del número primo de Sheldon y han demostrado que es así. Existe un único número que cumple las propiedades del producto y el espejo, es el número primo de Sheldon, 73.

Para saber más

Pomerance y Spicer han publicado el artículo titulado Proof of the Sheldon Conjecture, en la Mathematical Assoc. of America.

En el canal de YouTube Derivando también han tratado este tema.

Juan José de Haro

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