Leyendo el libro «De los números y su historia» de Isaac Asimov me he tropezado con la «serie Asimov», un serie que Asimov descubrió por sí mismo y que dice no conocer a nadie más que la haya propuesto con antelación, aunque, según él mismo dice, seguramente alguien lo habrá hecho en algún momento de la historia.

He buscado esta serie por Internet y no parece haber rastro de ella en ninguna parte de forma que haré aquí una mención para su conocimiento.

Una expresión general para \(e^x\)

Asimov parte de la conocida expresión general para encontrar \(e^x\):

\[e^x = \frac {x^0}{0!} + \frac{x^1} {1!} + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Que puede escribirse como:

\[e^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + \frac {x^5}{5!}+ \frac {x^6}{6!}+ \frac {x^7}{7!}+ \frac {x^8}{8!}…\]

Asimov llega a la expresión de su propia serie tras diversas manipulaciones de la fórmula anterior aplicada a \(x=-1\), es decir:

\[e^{-1} = 1 + (-1) + \frac {(-1)^2}{2!} + \frac {(-1)^3}{3!} + \frac {(-1)^4}{4!} + \frac {(-1)^5}{5!}…\]

Fácilmente se ve que los términos con exponentes pares quedarán positivos y los impares negativos, además, los dos primeros términos se anulan:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \frac 1{3!} + \frac 1{4!} – \frac 1{5!} + \frac 1{6!}-\frac 1{7!} + \frac 1{8!}…\]

A continuación transforma los signos positivos en negativos agrupando términos:

\[e^{-1} = \frac {1}{2!} – \left ( \frac 1{3!} – \frac 1{4!} \right ) – \left ( \frac 1{5!} – \frac 1{6!} \right ) – \left (\frac 1{7!} – \frac 1{8!}\right )…\]

Si nos fijamos en uno de los paréntesis y utilizamos letras en lugar de números, vemos que:

\[\frac 1 {(n-1)!} – \frac 1 {n!} = \frac 1 {(n-1)(n-2)…1} – \frac 1 {n(n-1)(n-2)…1}\]

y de aquí:

\[\frac {n-1} {n(n-1)(n-2)…1}\]

es decir:

\[\frac {n-1} {n!}\]

De forma que podemos substituir los paréntesis por:

\[ e^{-1}=\frac {1}{2!} – \frac 3 {4!} – \frac 5 {6!} – \frac 7 {8!}… \]

Que es la SERIE ASIMOV, llamada así por el propio Asimov, una serie bella por su simplicidad.